Giải bài 8 trang 89 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\). Các điểm \(E\), \(F\) thuộc đường chéo \(AC\) sao cho \(AE = EF = FC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BF\) và \(CD\), \(N\) là giao điểm của \(DE\) và \(AB\). Chứng minh rằng:

a) \(M\), \(N\) theo thứ tự là trung điểm của \(CD\), \(AB\)

b) \(EMFN\) là hình bình hành

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(AE = EF = FC\) nên \(AE = EF = FC = \frac{1}{3}AC\) (1)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\) hay \(OA = OC = \frac{1}{2}AC\) và \(AC = 2OA = 2OC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE = EF = FC = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}OC\).

Xét \(\Delta BCD\) có \(CO\) là trung tuyến và \(CF = \frac{2}{3}CO\) (cmt)

Suy ra \(F\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)

Suy ra \(BM\) là đường trung tuyến của \(\Delta BCD\)

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(CD\)

Xét \(\Delta ABD\) có \(AO\) là trung tuyến và \(AE = \frac{2}{3}AO\) (cmt)

Suy ra \(E\) là trọng tâm của \(\Delta ABD\)

Suy ra \(DN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABD\)

Suy ra \(N\) là trung điểm của \(AB\)

b) Do M là trung điểm của CD (câu a) nên \(MC = MD = \frac{1}{2}CD\).

            N là trung điểm của AB (câu a) nên \(NB = NA = \frac{1}{2}AB\).

Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra NB = MD và NB // MD.

Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MD

Do đó BMDN là hình bình hành.

Suy ra BM // DN và BM = DN.

Ta có E là trọng tâm của \(\Delta\)ABD nên  \(EN = \frac{1}{3}DN\).

F là trọng tâm của \(\Delta\)BCD nên \(FM = \frac{1}{3}BM\).

Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.

Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)

Suy ra EMFN là hình bình hành.