Giải Bài 9 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H ∈ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng $\widehat {EBH} = \widehat {ACM}$

c) Chứng minh rằng $EB \bot BC$

Lời giải chi tiết

a)Xét $\Delta$BHE và $\Delta$BHM có :

BH là cạnh chung

EH = HM (do M đối xứng E qua H)

$\widehat {BHE} = \widehat {BHM} = {90^o}$

$\Rightarrow$$\Delta$BHE = $\Delta$BHM (c-g-c)

$\Rightarrow$BM = BE (cạnh tương ứng)

và $\widehat {EBH} = \widehat {MBH}$(góc tương ứng) (1)

$\Rightarrow$$\Delta$BEM cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)

b)Xét $\Delta$BHM vuông tại H $\Rightarrow \widehat {BMH} + \widehat {MBH} = {90^o}$

Xét $\Delta$AMC vuông tại A $\Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {MCA} = {90^o}$

Mà $\widehat {HMB} = \widehat {AMC}$(2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {MBH} = {90^o} - \widehat {AMC} = {90^o} - \widehat {HMB}$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {ACM}$

c)Vì $\widehat {BCM} = \widehat {ACM}$ (do CM là phân giác góc C)

$\Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {BCM}$(cùng bằng $\widehat {AMC}$) (3)

Xét $\Delta$EHB vuông tại H có $\widehat {EBH} + \widehat {BEH} = {90^o}$(4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat {BCM} + \widehat {BEH} = {90^o}$

$\Rightarrow \widehat {EBC} = {90^o} \Rightarrow EB \bot BC$