Giải Bài 5 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng $\widehat {BMN} = \widehat {HAC}$

b) Kẻ $MI \bot AH$(I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải chi tiết

a)      Xét tam giác BMC cân tại M (Do M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC) có : $\widehat {MBC} = \widehat {MCB}$ (góc tương ứng)

Mà $\widehat {BMN} = {90^o} - \widehat {MBC}$ và $\widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {BCM}$

$\Rightarrow$$\widehat {BMN} = \widehat {HAC}$

b)      Ta có MN⫽AH (do cùng vuông góc với BC)

$\Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {KMN}$ (2 góc so le trong)

Mà $\widehat {BMN} = \widehat {HAC}$( chứng minh a)

$\Rightarrow \widehat {KAM} = \widehat {AKM}$ (do cùng =$\widehat {BMN}$)

Xét $\Delta MIA$ và $\Delta MIK$ có :

IM cạnh chung

$\widehat {KAM} = \widehat {AKM}$

$\widehat {AIM} = \widehat {MIK} = {90^o}$

$\Rightarrow \Delta MIA = \Delta MIK$ (cạnh góc vuông-góc nhọn)

$\Rightarrow$AI = IK (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ I là trung điểm AK