Giải bài 9 trang 61 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm \(O\) trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm \(A,B,C\) trên đèn tròn (Hình 11). Độ dài của ba đoạn dây \(OA,OB,OC\) đều bằng \(L\left( {inch} \right)\). Trọng lượng của chiếc đèn là \(24N\) và bán kính của chiếc đèn là \(18inch\left( {1inch = 2,54cm} \right)\). Gọi \(F\) là độ lớn của các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) trên mỗi sợi dây. Khi đó, \(F = F\left( L \right)\) là một hàm số với biến số là \(L\).

a) Xác định công thức tính hàm số \(F = F\left( L \right)\).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(F = F\left( L \right)\).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là \(10N\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\)lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {{F_3}} \).

Khi đó, hai vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {O{A_1}} \) cùng phương, do đó tồn tại số \(k \ne 0\) sao cho: \(\overrightarrow {O{A_1}}  = k.\overrightarrow {OA} \).

Tương tự ta có: \(\overrightarrow {O{B_1}}  = k.\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {O{C_1}}  = k.\overrightarrow {OC} \).

Suy ra, \(F = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = k.\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = k.L\) (1)

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \).

Gọi \(I\) là tâm của chiếc đèn hình tròn.

Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(I\) cũng là trọng tâm của tam giác.

Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác \(ABC\), ta được:

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OI}  \Leftrightarrow \frac{1}{k}\left( {\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{C_1}} } \right) = 3\overrightarrow {OI}  \Leftrightarrow \frac{1}{k}.\overrightarrow P  = 3\overrightarrow {OI}  \Leftrightarrow \overrightarrow P  = 3k.\overrightarrow {OI} \)

Theo giả thiết bài toán, trọng lượng của chiếc đèn là \(24N\), do đó \(OI = \frac{8}{k}\).

Mặt khác, xét hình chóp tam giác đều \(O.ABC\), có \(OI\) vuông góc mới mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó: \(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}}  = \sqrt {{L^2} - {{18}^2}}  = \sqrt {{L^2} - 324} \).

Suy ra, \(\frac{8}{k} = \sqrt {{L^2} - 324}  \Leftrightarrow k = \frac{8}{{\sqrt {{L^2} - 324} }}\) thế vào (1) ta được:

\(F = \frac{8}{{\sqrt {{L^2} - 324} }}.L \Leftrightarrow F = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - 324} }}\left( N \right)\)

b) Ta khảo sát hàm số \(F = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - 324} }}\) trên \(\left( {18; + \infty } \right)\).

1) Hàm số xác định trên \(\left( {18; + \infty } \right)\).

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } F = 8\).

Do đó, đường thẳng \(y = 8\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{18}^ + }} F =  + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 18\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

\(F' = \frac{{{{\left( {8L} \right)}^\prime }.\sqrt {{L^2} - 324}  - 8L.{{\left( {\sqrt {{L^2} - 324} } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {\sqrt {{L^2} - 324} } \right)}^2}}} = \frac{{ - 2592}}{{\left( {{L^2} - 324} \right)\sqrt {{L^2} - 324} }} < 0,\forall x \in \left( {18; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên \(\left( {18; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị trên \(\left( {18; + \infty } \right)\).

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số không có giao điểm với trục tung.

Vậy đồ thị hàm số \(F=\frac{8L}{\sqrt{{{L}^{2}}-324}}\) trên \(\left( {18; + \infty } \right)\) như sau:

c) Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng \(10N\), ta có: 

\(\frac{8L}{\sqrt{{{L}^{2}}-324}}=10\Leftrightarrow 8L=10\sqrt{{{L}^{2}}-324}\Leftrightarrow 4L=5\sqrt{{{L}^{2}}-324}\)

\(\Leftrightarrow 16{{L}^{2}}=25\left( {{L}^{2}}-324 \right)\Leftrightarrow {{L}^{2}}=900\Leftrightarrow L=30\left( TMK \right)\)

Dựa vào đồ thị hàm số \(F = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - 324} }}\) trên \(\left( {18; + \infty } \right)\) ở phần b), ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là \(10N\) là \(30{\rm{ }}inch\).