Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diềuCho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D'). Góc giữa hai vectơ (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {DA'} ) bằng: A. ({30^ circ }). B. ({45^ circ }). C. ({120^ circ }). D. ({60^ circ }). Đề bài Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} \) bằng: A. \({30^ \circ }\) B. \({45^ \circ }\) C. \({120^ \circ }\) D. \({60^ \circ }\) Phương pháp giải - Xem chi tiết ‒ Cách xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \): \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\) với \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \). ‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\). Lời giải chi tiết
\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA'} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {DA'} = - \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = - AC.A'D.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA'} } \right)\) Ta có: \(\overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {DA'} \) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \widehat {ACB'}\). Xét tam giác \(ACB'\) có \(AC,AB',B'C\) đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương. Do đó \(AC = AB' = B'C\). Vậy tam giác \(ACB'\) đều. Suy ra \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \widehat {ACB'} = {60^ \circ }\). \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA'} = - AC.A'D.\cos {60^ \circ } = - \frac{1}{2}AC.A'D\). Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA'} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {DA'} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}AC.A'D}}{{AC.A'D}} = - \frac{1}{2}\). Vậy \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = {120^ \circ }\). Chọn C.  Chia sẻ Bình luận
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
