Giải bài 7 trang 61 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = AB = AC = a\) và \(BC = a\sqrt 2 \) (Hình 9).

a) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và tam giác \(SAB\) đều.

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\) và \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {120^ \circ }\).

c) \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) \(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\).

Lời giải chi tiết

Xét tam giác \(ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = 2{a^2} = B{C^2}\). Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Xét tam giác \(SAB\) có: \(SA = SB = AB = a\). Vậy tam giác \(SAB\) đều.

Vậy a) đúng.

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB \bot AC \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^ \circ }\). Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\).

\(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB}  =  - \left| {\overrightarrow {AS} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AB} } \right) =  - a.a.\cos {60^ \circ } =  - \frac{{{a^2}}}{2}\)

\(\cos \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{a.a}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {120^ \circ }\).

Vậy b) đúng.

\(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 =  - \frac{{{a^2}}}{2}\). Vậy c) sai.

\(\cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} }}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{2}}}{{a.a}} =  - \frac{1}{2}\). Vậy d) sai.

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S