Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B,$ $OO' = 3cm.$ Qua $A$ kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn $(O)$ và $(O')$ theo thứ tự tại $E$ và $F$ ( $A$ nằm giữa $E$ và $F$). Tính xem đoạn thẳng $EF$ có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu$?$ 

Lời giải chi tiết

Kẻ $OI ⊥ AE, O'K ⊥ AF$

Trong đường tròn $(O),$ có $OI ⊥ AE$ mà OI là 1 phần đường kính và AE là dây cung nên: 

$IA = IE = \displaystyle {1 \over 2}AE$ ( đường kính vuông góc với dây cung)

Trong đường tròn $(O'),$ có $O'K ⊥ AF$ mà O'K là 1 phần đường kính và AF là dây cung nên: 

$KA = KF = \displaystyle {1 \over 2}AF$ (đường kính vuông góc với dây cung)

Ta có: $EF = AE + AF$

Suy ra: $EF = 2IA + 2AK$$= 2(IA + AK) = 2IK    \; \;(1)$

Kẻ $O'H ⊥ OI$

Khi đó tứ giác $IHO'K$ là hình chữ nhật ( có ba góc vuông)

Suy ra: $O'H = IK$

Trong tam giác $OHO'$ ta có: $O’H  \le {\rm{OO'}}=3\; (cm)$

Suy ra: $IK  \le {\rm{OO}}'$      $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $EF  \le {\rm{2OO'}}= 6 (cm)$

Ta có: $EF = 6cm$ khi $H$ và $O$ trùng nhau hay $EF // OO'$

Vậy $EF$ có độ dài lớn nhất bằng $6cm$ khi và chỉ khi $EF // OO'.$

HocTot.Nam.Name.Vn