Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $AB.$ Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB.$ Vẽ đường tròn $(M ; MH).$ Kẻ các tiếp tuyến $AC, BD$ với đường tròn tâm $M ( C$ và $D$ là các tiếp điểm khác $H).$

$a)$ Chứng minh rằng ba điểm $C, M, D$ thẳng hàng và $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O).$

$b)$ Chứng minh rằng khi điểm $M$ di chuyển trên nửa đường tròn $(O)$ thì tổng $AC + BD$ không đổi.

$c)$ Giả sử $CD$ và $AB$ cắt nhau tại $I.$ Chứng minh rằng tích $OH.OI$ không đổi.

Lời giải chi tiết

$a)$ Trong đường tròn $(M; MH),$ có AC và AH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MA$ là tia phân giác của góc $HMC$ và $AC=AH$

Suy ra: $\widehat {CMA} = \widehat {HMA}$ hay $\widehat {CMH} = 2\widehat {HMA}$

Trong đường tròn $(M; MH),$ có BD và BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MB$ là tia phân giác của góc $HMD$ và $BD=BH$

Suy ra: $\widehat {HMB} = \widehat {DMB}$ hay $\widehat {DMH} = 2\widehat {HMB}$

Tam giác $ABM$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB$ là đường kính nên vuông tại $M$

Suy ra: $\widehat {AMB} = 90^\circ$ hay $\widehat {HMA} + \widehat {HMB} = 90^\circ$

Suy ra: $\widehat {CMH} + \widehat {HMD} = 2\widehat {HMA} + 2\widehat {HMB}$

$= 2 (\widehat {HMA} + \widehat {HMB}) = 2.90^\circ  = 180^\circ$

Vậy $C, M, D$ thẳng hàng.

$b)$ Theo câu a) ta có: $AC = AH$ và $BD = BH$

Khi $M$ thay đổi trên nửa đường tròn tâm $O$ thì $AC$ luôn bằng $AH$ và $BD$ luôn bằng $BH.$

Suy ra: $AC + BD = AH + BH = AB$ không đổi

$c)$ Ta có: $AC ⊥ CD$ và $BD ⊥ CD$ ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: $AC // BD$ hay tứ giác $ABDC$ là hình thang

Mà $OA = OB$ (= bán kính $(O)$)

Và $MC = MD$ (= bán kính $(M)$)

Suy ra $OM$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$

Khi đó $OM // AC.$ Suy ra: $OM ⊥ CD$ hay $\widehat {OMI} = 90^\circ$

Tam giác $OMI$ vuông tại $M$ có $MH ⊥ OI.$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $OM^2= OH.OI$

Mà OM là bán kính đường tròn (O) nên OM có độ dài không đổi.

Suy ra: $OH.OI$ không đổi. 

HocTot.Nam.Name.Vn