Bài 73 trang 169 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài tại $A.$ Gọi $CD$ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $( C ∈ (O),$$D ∈ (O’)).$

$a)$ Tính số đo góc $CAD.$

$b)$ Tính độ dài $CD$ biết $OA = 4,5cm,$$O’A = 2cm.$

Lời giải chi tiết

$a)$ Kẻ tiếp tuyến chung tại $A$ cắt $CD$ tại $M$

Trong đường tròn $(O)$ có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

$MA =  MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn $(O’)$ có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

$MA =  MD$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: $MA = MC = MD = \displaystyle {1 \over 2}CD$

Tam giác $ACD$ có đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh $CD$ và bằng nửa cạnh $CD$ nên tam giác $ACD$ vuông tại $A$

Suy ra: $\widehat {CAD} = 90^\circ$

b) Trong đường tròn $(O)$ có MA và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

$MO$ là tia phân giác của $\widehat {CMA}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn $(O’)$ có MA và MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M nên:

$MO’$ là tia phân giác của $\widehat {DMA}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $\widehat {CMA}$ và $\widehat {DMA}$ là 2 góc kề bù

Suy ra: $MO ⊥ MO’$ (tính chất về tia phân giác của hai góc kề bù)

Tam giác $MOO’$ vuông tại $M$ có $MA ⊥ OO’$ ( tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$MA^2= OA.O’A = 4,5.2 = 9$$⇒ MA = 3\; (cm)$

Mà $MA = \displaystyle{1 \over 2}CD$$⇒ CD = 2.MA = 2.3 = 6\; (cm)$

HocTot.Nam.Name.Vn