Bài 77* trang 169 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ tiếp xúc ngoài tại $A.$ Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $MN$ với $M$ thuộc $(O)$ và $N$ thuộc $(O’).$ Gọi $P$ là điểm đối xứng với $M$ qua $OO’, Q$ là điểm đối xứng với $N$ qua $OO’.$ Chứng minh rằng:

$a)$ $MNQP$ là hình thang cân.

$b)$ $PQ$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O)$ và $(O’).$

$c)$ $MN + PQ = MP + NQ.$

Lời giải chi tiết

$a)$ Vì $M$ và $P$ đối xứng qua trục $OO’$ nên $OO’$ là đường trung trực của $MP.$

Suy ra: $OP = OM$

Khi đó $P$ thuộc $(O)$ và $MP ⊥ OO’\;\;             (1)$

Vì $N$ và $Q$ đối xứng qua trục $OO’$ nên $OO’$ là đường trung trực của $NQ$

Suy ra: $O’N = O’Q$

Khi đó $Q$ thuộc $(O’)$ và $NQ ⊥ OO’\;\;            (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $MP // NQ$

Tứ giác $MNQP$ là hình thang.

Vì $OO’$ là đường trung trực của $MP$ và $NQ$ nên $OO’$ đi qua trung điểm hai đáy hình thang $MNQP,$ $OO’$ đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang $MNQP$ nên $MNQP$ là hình thang cân.

$b)$ Ta có: $MN ⊥ OM$ ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra:  $\widehat {OMN} = 90^\circ$ hay $\widehat {OMP} + \widehat {PMN} = 90^\circ$    (3)

Vì $OM = OP$ (= bán kính đường tròn (O)) nên tam giác $OMP$ cân tại $O$

Suy ra: $\widehat {OPM} = \widehat {OMP}$                    $(4)$

Lại có $MNQP$ là hình thang cân nên $\widehat {PMN} = \widehat {QPM}$ $(5)$

Từ $(3),$ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $\widehat {OPM} + \widehat {QPM} = 90^\circ$

Suy ra: $QP ⊥ OP$ tại $P$

Vậy $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O).$

Ta có: $MN ⊥ O’N$ ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: $\widehat {O'NM} = 90^\circ$

Mà $\widehat {O'NM} = \widehat {MNQ} - \widehat {O'NQ} = 90^\circ$   $(6)$

Vì $O’N = O’Q$ (= bán kính đường tròn (O')) nên tam giác $O’NQ$ cân tại $O’$

Suy ra: $\widehat {O'NQ} = \widehat {O'QN}$   $(7)$

Lại có $MNQP$ là hình thang cân nên $\widehat {MNQ} = \widehat {PQN}$  $(8)$

Từ $(6), (7)$ và $(8)$ suy ra: $\widehat {PQN} - \widehat {O'QN} = 90^\circ$ hay $\widehat {O'QP} = 90^\circ$

Suy ra:   $QP ⊥ O’Q$ tại $Q$

Vậy $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O’).$

$c)$ Kẻ tiếp tuyến chung tại $A$ cắt $MN$ tại $E$ và $PQ$ tại $F$

Trong đường tròn $(O),$ theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$EM = EA$ và $FP = FA$

Trong đường tròn $(O’),$ theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:    

   $EN = EA$ và $FQ = FA$

Suy ra:   $EM = EA = EN = \displaystyle {1 \over 2}MN$

$FP = FA = FQ = \displaystyle {1 \over 2}PQ$

Suy ra: $MN +PQ = 2EA + 2FA$$= 2(EA + FA) = 2EF  \;\;    (9)$

Vì $EF$ là đường trung bình của hình thang $MNQP$ nên:

$EF = \displaystyle {{MP + NQ} \over 2}$ hay $MP + NQ = 2EF    \;\;    (10)$

Từ $(9)$ và $(10)$ suy ra: $MN + PQ = MP + NQ.$

HocTot.Nam.Name.Vn