Bài 78 trang 170 SBT toán 9 Tập 1

Đề bài

Cho đường tròn $(O ; 2cm)$ và $(O’ ; 3cm),$ $OO’ = 6cm.$

$a)$ Hai đường tròn $(O), (O’)$ có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau$?$

$b)$ Vẽ đường tròn $(O',1cm)$ rồi kẻ tiếp tuyến $OA$ với đường tròn đó ( $A$ là tiếp điểm). Tia $O’A$ cắt đường tròn $(O’ ; 3cm)$ ở $B.$ Kẻ bán kính $OC$ của đường tròn $(O)$ song song với $O’B, B$ và $C$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ $OO’.$ Chứng minh rằng $BC$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ($O ; 2cm)$ và $(O’ ; 3cm).$

$c)$ Tính độ dài $BC.$

$d)$ Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $OO’.$ Tính độ dài $IO.$

Lời giải chi tiết

$a)$ Vì $OO’ = 6 > 2 + 3$ hay $OO’ > R + R’$ nên hai đường tròn $(O)$ và $(O’)$ ở ngoài nhau.

$b)$ Xét tứ giác $ABCO$  ta có:

         $AB // CO\;\; (gt)   \;\;                                   (1)$

Mà:       $AB = O’B – O’A = 3 – 1 = 2 \;(cm)$

Suy ra:   $AB = OC = 2\; (cm)            \;\;                   (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $ABCO$ là hình bình hành.

Lại có: $OA  ⊥ O’A$ ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: $\widehat {OAO'} = 90^\circ$ hay $\widehat {OAB} = 90^\circ$

Tứ giác $ABCO$ là hình chữ nhật

Suy ra: $\widehat {OCB} = \widehat {ABC} = 90^\circ$

Suy ra: $BC  ⊥ OC$ và $BC ⊥ O’B$

Vậy $BC$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O)$ và $(O’).$

$c)$ Vì tứ giác $ABCO$ là hình chữ nhật nên $OA = BC$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $OAO’,$ ta có:

$OO'^2=OA^2+O'A^2$

$\Rightarrow OA^2=OO'^2-O'A^2$$=6^2-1^2=35$

$⇒ OA =\sqrt {35}(cm)$

Vậy $BC = \sqrt {35} (cm)$

$d)$ Trong tam giác $O’BI$ có $OC // O’B$

Suy ra: $\displaystyle {{IO} \over {IO'}} = {{OC} \over {O'B}}$ (hệ quả định lí Ta-lét)

$⇒\displaystyle {{IO} \over {IO' - IO}} = \displaystyle {{OC} \over {O'B - OC}}$

$\Rightarrow \displaystyle {{IO} \over {O'O}} = {2 \over {3 - 2}}$

$\Rightarrow \displaystyle {{IO} \over 6} = {2 \over 1}$

Vậy $OI = \displaystyle {{6.2} \over 1} = 12 (cm)$

HocTot.Nam.Name.Vn