Giải bài 6.39 trang 15 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết $x + y + z = 0$ và $x,y,z \ne 0.$ Rút gọn biểu thức sau:

 $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}$

Lời giải chi tiết

Vì $x + y + z = 0$ nên $z =  - \left( {x + y} \right)$

Do đó, ${x^2} + {y^2} - {z^2} = {x^2} + {y^2} - {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - {x^2} - {y^2} - 2xy =  - 2xy$

Khi đó, $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} = \frac{{xy}}{{ - 2xy}} = \frac{{ - 1}}{2}$

Tương tự ta có, $\frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} = \frac{{ - 1}}{2};\frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}} = \frac{{ - 1}}{2}$

Do đó, $\frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}} = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{ - 3}}{2}$