Giải bài 6 trang 9 SBT toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} + 5x + 2$ là tam thức bậc hai không đổi dấu trên $\mathbb{R}$

b) $f\left( x \right) = m{x^2} - 7x + 4$ là tam thức bậc hai âm với mọi $x \in \mathbb{R}$

c) $f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + \left( {3m - 1} \right)$là tam thức bậc hai dương với mọi $x \in \mathbb{R}$

d) $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - 3mx + 1$ là tam thức bậc hai âm với mọi $x \in \mathbb{R}$

Lời giải chi tiết

a) $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai khi và khi $m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1$

Mặt khác, để tam thức bậc hai không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ , tức là không cắt trục hoành (hay f(x)=0 vô nghiệm) khi và chỉ khi $\Delta  < 0$

hay ${5^2} - 4\left( {m + 1} \right).2 < 0 \Leftrightarrow  - 8m + 17 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{{17}}{8}$

Vậy để $f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} + 5x + 2$ là tam thức bậc hai không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ thì $m > \frac{{17}}{8}$

b) $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai khi và khi $m \ne 0$

Mặt khác, $f\left( x \right)$ âm với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a < 0$ và $\Delta  < 0$

hay $\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{\left( { - 7} \right)^2} - 4m.4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m > \frac{{49}}{{16}}\end{array} \right.$ (Vô lý)

Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

c) $f\left( x \right)$ có $a = 3 > 0$, suy ra $f\left( x \right)$  dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta  < 0$

hay ${\left( { - 4} \right)^2} - 4.3.\left( {3m - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 36m + 28 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{7}{9}$

Vậy để $f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + \left( {3m - 1} \right)$là tam thức bậc hai dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $m > \frac{7}{9}$

d) $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - 3mx + 1$ có $a = {m^2} + 1 > 0\forall m \in \mathbb{R}$

mà để $f\left( x \right)$ âm với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì $a < 0$ và $\Delta  < 0$

Vậy không tồn tại giá trị m để $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - 3mx + 1$ là tam thức bậc hai âm với mọi $x \in \mathbb{R}$