Giải bài 6 trang 23 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải chi tiết

• Gọi x là số giờ để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình, y là số giờ để người thứ hai hoàn thành công việc một mình. Điều kiện: $x,y > 16$.

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) và người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Cả hai người cùng làm thì mỗi giờ được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc) và hoàn thành toàn bộ công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình $16\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1$. (1)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ được $\frac{3}{x}$ (công việc); người thứ hai làm trong 6 giờ được $\frac{6}{y}$ (công việc) và khi đó cả hai chỉ hoàn thành được 25% ($= \frac{1}{4}$ công việc) nên ta có phương trình $\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}$. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình (I) $\left\{ \begin{array}{l}16\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

• Đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$, ta đưa hệ (I) về dạng (II) $\left\{ \begin{array}{l}16\left( {u + v} \right) = 1\;\left( 3 \right)\\3u + 6v = \frac{1}{4}\;\left( 4 \right)\end{array} \right.$.

Giải hệ (II): Từ (3) ta có $u + v = \frac{1}{{16}}$. Thay thế giá trị này vào (4), ta được: $3\left( {u + v} \right) + 3v = \frac{1}{4}$ hay $\frac{3}{{16}} + 3v = \frac{1}{4}$, suy ra $v = \frac{1}{{48}}$. Do đó, $u = \frac{1}{{24}}$.

Từ đó, ta có: $u = \frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}$ suy ra $x = 24$; $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{{48}}$ suy ra $y = 48$.

• Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ, người thứ hai hoàn thành trong 48 giờ.