Bài 54 trang 165 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn $(O; 3cm)$ và điểm $A$ có $AO = 5cm.$ Kẻ các tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn $(B, C$ là tiếp điểm$).$ Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC.$

$a)$ Tính độ dài $OH.$

$b)$ Qua điểm $M$ bất kì thuộc cung nhỏ $BC,$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt $AB$ và $AC$ theo thứ tự tại $D$ và $E.$ Tính chu vi tam giác $ADE.$

Lời giải chi tiết

$a)$ Ta có: $AB = AC$  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $∆ABC$ cân tại A.

$AO$ là tia phân giác của góc $BAC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $AO$ là đường cao của tam giác $ABC$ (tính chất tam giác cân).

Do đó $AO$ vuông góc với $BC$ tại $H$

Lại có: $AB ⊥ OB$ (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác $ABO$ vuông tại $B$ có $BH ⊥ AO$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$O{B^2} = OH.OA$$\Rightarrow OH =\displaystyle  {{O{B^2}} \over {OA}}$$=\displaystyle {{{3^2}} \over 5} = 1,8$ (cm)

$b)$ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ABO,$ ta có:

$A{O^2} = A{B^2} + B{O^2}$

Suy ra: $A{B^2} = A{O^2} - B{O^2} = {5^2} - {3^2} = 16$

 $\Rightarrow AB =  4 (cm)$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$DB = DM$

$EM = EC$

Chu vi của tam giác $ADE$ bằng:

$AD + DE + EA$$= AD + DM + ME + EA$$= AD + DB + AE + EC$

$= AB + AC = 2AB$ (vì $AB=AC$ (cmt))

$= 2.4 = 8 (cm).$

HocTot.Nam.Name.Vn