Bài 51 trang 97 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC.$

a) Tìm trên cạnh $AB$ điểm $M$ sao cho $\displaystyle {{AM} \over {MB}} = {2 \over 3}$; tìm trên cạnh $AC$ điểm $N$ sao cho $\displaystyle {{AN} \over {NC}} = {2 \over 3}$

b) Vẽ đoạn thẳng $MN.$ Hỏi rằng hai đường thẳng $MN$ và $BC$ có song song với nhau không? Vì sao?

c) Cho biết chu vi và diện tích tam giác $ABC$ thứ tự là $P$ và $S.$ Tính chu vi và diện tích tam giác $AMN.$

Lời giải chi tiết

a) Cách vẽ:

- Kẻ tia $Ax$ bất kì khác tia $AB, AC.$

- Trên tia $Ax,$ lấy hai điểm $E$ và $F$ sao cho $AE = 2 (cm), EF = 3 (cm).$

- Kẻ đường thẳng $FB.$

- Từ $E$ kẻ đường thẳng song song với $FB$ cắt $AB$ tại $M$.

- Kẻ đường thẳng $FC$

- Từ $E$ kẻ đường thẳng song song với $FC$ cắt $AC$ tại $N$.

Ta được hai điểm $M, N$ cần dựng.

Chứng minh:

Trong tam giác $AFB$ có $EM // FB$ (theo cách vẽ)

Theo định lí Ta-lét, ta có:

$\displaystyle{{AM} \over {MB}} = {{AE} \over {EF}} = {2 \over 3}$

Trong tam giác $AFC$ có $EN // FC$  (theo cách vẽ)

Theo định lí Ta-lét, ta có:

$\displaystyle {{AN} \over {NC}} = {{AE} \over {EF}} = {2 \over 3}$

Vậy $M, N$ là hai điểm cần tìm.

b) Trong tam giác $ABC$ có $\displaystyle{{AM} \over {MB}} = {{AN} \over {NC}} = {2 \over 3}$ nên theo định lí đảo của định lí Ta-lét thì $MN // BC.$

c) Gọi $p’$ và $S’$ là chu vi và diện tích của $∆ AMN$.

Ta có $\displaystyle \dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{2}{5}$

Trong tam giác $ABC$ có $MN // BC$ nên $\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{{MN}}{{BC}}$ hay $∆ AMN$ đồng dạng $∆ ABC$ (c.c.c)

Với tỉ số đồng dạng: $k=\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{2}{5}$

Ta có: 

$\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{{MN}}{{BC}}$$= \dfrac{{AM + AN + MN}}{{AB + AC + BC}} = \dfrac{{p'}}{{{P}}}$ 

Suy ra $\displaystyle {{p'} \over P} = {2 \over 5} = k\Rightarrow p' = {2 \over 5}P$

Theo tính chất hai tam giác đồng dạng ta có: 

$\displaystyle {{S'} \over S}=k^2 = {\left( {{2 \over 5}} \right)^2} = {4 \over 25}$

$\displaystyle\Rightarrow S' = {4 \over 25}S .$

HocTot.Nam.Name.Vn