Bài 51 trang 108 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho ngũ giác đều $ABCDE.$ Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BE.$ Chứng minh $D{I^2} = AI.AD$

Lời giải chi tiết

Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều $ABCDE$ 

$sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{BC} = sđ \overparen{CD}$$= sđ \overparen{DE} = sđ \overparen{AE}=\dfrac{360^\circ}{5}= 72^\circ$$\;\;                (1)$

$\widehat {{E_1}} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AB}$ (tính chất góc nội tiếp)   $(2)$

$\widehat {{D_1}} =  \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AE}$ (tính chất góc nội tiếp)   $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}$

Xét $∆AIE$ và $∆AED:$

+) $\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}$ (chứng minh trên)

+) $\widehat A$ chung

Suy ra: $∆AIE$ đồng dạng $∆AED (g.g)$

Do đó: $\displaystyle {{AI} \over {AE}} = \displaystyle{{AE} \over {AD}}$

$\Rightarrow$ $AE^2= AI. AD$$\;\; (*)$

Lại có: $\widehat {{E_2}} = \displaystyle  {1 \over 2}sđ \overparen{BCD}$ (tính chất góc nội tiếp) hay $\widehat {{E_2}} =  \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{BC} + sđ \overparen{CD}$) $\;\;           (4)$

$\widehat {{I_1}} =  \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DE} + sđ \overparen{AB}$) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn)  $(5)$

Từ $(1),$ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $\widehat {{E_2}} = \widehat {{I_1}}$

$\Rightarrow$ $∆DEI$ cân tại $D$ $\Rightarrow DE = DI$

          $DE = AE\;\; (gt)$

Suy ra:$DI = AE \;\;   (**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra:$DI^2= AI. AD$

HocTot.Nam.Name.Vn