Bài 5.1, 5.2, 5.3 phần bài tập bổ sung trang 56 SBT toán 9 tập 2

Bài 5.1

Giả sử ${x_1} , {x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có $∆’ = 0$. Điều nào sau đây là đúng?

A) $\displaystyle {x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}$

B) $\displaystyle {x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over a}$

C) $\displaystyle {x_1} = {x_2} =  - {b \over a}$

D) $\displaystyle {x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over {2a}}$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ và $b = 2b'$, $\Delta ' = b{'^2} - ac$

+ Nếu $\Delta ' >0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$; ${x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}$

+ Nếu $\Delta ' =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' <0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Giả sử ${x_1} , {x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có $∆’ = 0$ thì ${x_1} = {x_2} \displaystyle=  - {{b'} \over a}$

Chọn B.

Bài 5.2

Tìm mối liên hệ giữa $a, b, c$ để phương trình $\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0$ có nghiệm.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$  (1) có nghiệm ta xét hai trường hợp sau:

- TH1: $a=0$ từ đó tìm nghiệm của (1).

- TH2: $a\ne 0$, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta  \ge 0$.

Lời giải chi tiết:

- TH1: ${{b^2} + {c^2}}=0$ $\Leftrightarrow b = 0$ và $c = 0$.

Khi đó phương trình đã cho có dạng: ${a^2} = 0$   (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi $a=0$.

Vậy $a=b=c=0$ thì phương trình đã cho có vô số nghiệm. 

- TH2: ${b^2} + {c^2} \ne 0$

Phương trình $\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta ' \ge 0$

${b^2} + {c^2} \ne 0$ suy ra $b$ và $c$ không đồng thời bằng $0.$

$\eqalign{ & \Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr  & = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr  & = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr  & = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr  & \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr}$

Vì ${b^2} \ge 0$ $\Rightarrow \Delta ' \ge 0$ $\Leftrightarrow - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0$ $\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}$

Vậy ${a^2} \le {b^2} + {c^2}$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 5.3

Chứng tỏ rằng phương trình $\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)$ $+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0$ luôn có nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ và $b = 2b'$, $\Delta ' = b{'^2} - ac$ luôn có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta ' \ge 0$.

Đối với bài này ta chứng minh phương trình đã cho có $\Delta ' \ge 0$.

Lời giải chi tiết:

$\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)$$\,+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx$$\,+ bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0$

$\Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc$$\, + ac = 0$

$\Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right)$

$= {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc$$\, - 3ab - 3ac - 3bc$

$= {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac$ 

$\displaystyle = {1 \over 2}( 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac$$\, - 2bc)$ 

$\displaystyle= {1 \over 2}[ \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)$$\, + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)]$

$\displaystyle = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right]$

Ta có: ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;$ ${\left( {a - c} \right)^2} \ge 0$

Suy ra: ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0$

$\Rightarrow \Delta ' = \displaystyle{1 \over 2}[ {{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}$$\,+ {{\left( {a - c} \right)}^2}] \ge 0$

Vậy phương trình luôn có nghiệm.

HocTot.Nam.Name.Vn