Giải bài 4.8 trang 50 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O.$ $M$ là một điểm tùy ý thuộc cạnh $BC,$ khác $B$ và $C.$ $MO$ cắt cạnh $AD$ tại $N.$

a) Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của $MN.$

b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$ Chứng minh rằng $G$ cũng là trọng tâm tam giác $MNC.$

Lời giải chi tiết

a)  Xét $\Delta BOM$ và $\Delta DON$ có:

$\widehat {BMO} = \widehat {DNO}$ (2 góc so le trong)

$OB = OD$

$\widehat {BOM} = \overrightarrow {DOC}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\Delta BOM = \Delta DON$ (g.c.g)

$\Rightarrow$ $OM = ON$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ $O$ là trung điểm của $MN$

b)  Ta có: $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD$

nên $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$

Ta có: $\Delta BOM = \Delta DON$

$\Rightarrow$ $BM = DN$

Mặt khác $BM$//$DN$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {ND}$

Xét $\Delta MNC$:

$\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GC}  = \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DN} } \right) + \overrightarrow {GC}$

$= \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {DN} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của $\Delta MNC$