Giải bài 42 trang 76 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ có $AB = 3AC$ và điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 2DB$. Chứng minh: $\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 45^\circ$.

Lời giải chi tiết

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Đặt $AE = x,AC = x$.

Có $AE = ED = DB,AB = 3AC$ nên $ED = x,EB = 2x$ và $CE = x\sqrt 2$.

Xét tam giác $EDC$ và tam giác $ECB$ có:

$\widehat {CED} = \widehat {CEB}$

$\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{EC}}{{EB}}$

nên $\Delta EDC\backsim \Delta ECB$ (c.g.c).

Do đó $\widehat {ECD} = \widehat {CEB}$.

Vì vậy $\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = \widehat {EDC} + \widehat {ECD} = \widehat {AEC}$.

Mặt khác, do tam giác $AEC$ là tam giác vuông cân nên $\widehat {AEC} = 45^\circ$.

Vậy $\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 45^\circ$.