Giải bài 4.13 trang 52 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho $\Delta ABC$ có AD, BE, CF lần lượt là đường phân giác của góc A, góc B, góc C $\left( {D \in BC,E \in AC,F \in AB} \right)$. Chứng minh rằng $\frac{{AE}}{{EC}}.\frac{{CD}}{{DB}}.\frac{{BF}}{{FA}} = 1$.

Lời giải chi tiết

Vì AD là tia phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên $\frac{{CD}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Vì BE là tia phân giác của góc ABC trong tam giác ABC nên $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{BC}}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Vì CF là tia phân giác của góc BCA trong tam giác ABC nên $\frac{{BF}}{{FA}} = \frac{{BC}}{{AC}}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Do đó, $\frac{{AE}}{{EC}}.\frac{{CD}}{{DB}}.\frac{{BF}}{{FA}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{AC}}{{AB}}.\frac{{BC}}{{AC}} = 1$