Giải bài 4 trang 55 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm công thức hàm số bậc hai biết:

a) Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm $A\left( {1; - 3} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {2; - 10} \right)$

b) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng $x = 3$, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 16$ và một trong hai giao điểm với trục hoành có hoành độ là $- 2$

Lời giải chi tiết

a) Giả sử phương trình bậc 2 cần tìm có dạng tổng quát $y = a{x^2} + bx + c$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $B\left( {0; - 2} \right)$ nên $c =  - 2$. Vậy phương trình có dạng $y = a{x^2} + bx - 2$

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {1; - 3} \right),C\left( {2; - 10} \right)$ thay tọa độ hai điểm vào phương trình $y = a{x^2} + bx - 2$ta có hệ sau:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 3 = a{.1^2} + b - 2\\ - 10 = a{.2^2} + b.2 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b =  - 1\\4{\rm{a}} + 2b =  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 2\end{array} \right.\\\end{array}$

Vậy hàm số cần tìm có công thức là $y =  - 3{x^2} + 2x - 2$

b) Giả sử phương trình bậc 2 cần tìm có dạng tổng quát $y = a{x^2} + bx + c$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 16$ suy ra $c =  - 16$

Suy ra hàm số có công thức dạng $y = a{x^2} + bx - 16$

Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng $x = 3 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 3 \Rightarrow b =  - 6{\rm{a}}$ (1)

Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $- 2$nên $0 = a{\left( { - 2} \right)^2} + b\left( { - 2} \right) - 16 \Leftrightarrow 4a - 2b = 16$ (2)

Từ (1) và (2) ta tìm được $a = 1,b =  - 6$

Vậy hàm số cần tìm có dạng $y = {x^2} - 6x - 16$