Giải bài 4 trang 17 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc $60^\circ$. Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng 1km và 2km (Hình 2).

a) Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.

b) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A

c) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.

Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm. 

Lời giải chi tiết

a) Đặt độ dài của MO là x km $\left( {x > 0} \right)$

Ta có: $\widehat {MOA} + \widehat {MOB} = 180^\circ$ (hai góc bù nhau) $\Rightarrow \widehat {MOA} = 120^\circ$

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ta tính được:

+) Khoảng cách từ tàu đến B là $MB = \sqrt {{x^2} + {2^2} - 2.2.x.\cos 60^\circ }  = \sqrt {{x^2} - 2x + 4}$

+) Khoảng cách từ tàu đến A là $MA = \sqrt {{x^2} + {1^2} - 2.1.x.\cos 120^\circ }  = \sqrt {{x^2} + x + 1}$

b) Theo giải thiết ta có phương trình $MB = \frac{4}{5}MA \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 2x + 4 = \frac{{16}}{{25}}\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\ \Rightarrow \frac{9}{{25}}{x^2} - \frac{{66}}{{25}}x + \frac{{84}}{{25}} = 0\end{array}$

$\Rightarrow x \simeq 1,64$ và $x \simeq 5,69$

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1}$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy khi  $x \simeq 1,64$ hoặc $x \simeq 5,69$ thì khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A

c) Đổi 500 m = 0,5 km

Theo giả thiết ta có phương trình sau:

$\begin{array}{l}MB = MO - 0,5 \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = x - 0,5\\ \Rightarrow {x^2} - 2x + 4 = {\left( {x - 0,5} \right)^2}\\ \Rightarrow {x^2} - 2x + 4 = {x^2} - x + \frac{1}{4}\\ \Rightarrow x = \frac{{15}}{4}\end{array}$

Thay $x = \frac{{15}}{4}$ vào phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = x - 0,5$ ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy khi $x = \frac{{15}}{4}$ thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.