Giải bài 3.8 trang 38 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $a = 19,\,\,b = 6,\,\,c = 15.$

a) Tính $\cos A.$

b) Tính diện tích tam giác.

c) Tính độ dài đường cao ${h_c}.$

d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lý cosin ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{6^2} + {{15}^2} - {{19}^2}}}{{2.6.15}} = \frac{{ - 5}}{9}.$

b) Nửa chu vi $\Delta ABC$ là: $p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{19 + 6 + 15}}{2} = 20.$

Diện tích $\Delta ABC$ là: $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {20\left( {20 - 19} \right)\left( {20 - 6} \right)\left( {20 - 15} \right)}  = \sqrt {20.1.14.5}  = 10\sqrt {14} .$

c) Độ dài đường cao ${h_c}$ là:

$S = \frac{1}{2}c.{h_c}\,\, \Rightarrow \,\,{h_c} = \frac{{2S}}{c} = \frac{{2.10\sqrt {14} }}{{15}} = \frac{{4\sqrt {14} }}{3}.$

d) Bán kính đường tròn nội tiếp của $\Delta ABC$ là:

$S = pr\,\, \Rightarrow \,\,r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt {14} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.$