Giải bài 3.10 trang 39 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một tàu các xuất phát từ đảo $A,$ chạy 50 km theo hướng $N{24^ \circ }E$ đến đảo $B$ để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng $N{36^ \circ }W$ chạy tiếp 130 km đến ngư trường $C.$

a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị đo ki lô mét).

b) Tìm hướng từ A đến C ( đơn vị đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Lời giải chi tiết

Ta có: $\widehat B = \left( {{{90}^ \circ } - {{36}^ \circ }} \right) + \left( {{{90}^ \circ } - {{24}^ \circ }} \right) = {120^ \circ }.$

a) Độ dài đoạn thẳng AC là:

Áp dụng định lý cosin, ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B\\A{C^2} = {50^2} + {130^2} - 2.50.130.\cos {120^ \circ }\\A{C^2} = 2500 + 16900 + 6500 = 25900\\ \Rightarrow \,\,AC = \sqrt {25900}  = 10\sqrt {259}  \approx 161\,\,km\end{array}$

b) Áp dụng định lý sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{CB}}{{\sin CAB}} = \frac{{AC}}{{\sin ABC}}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{130}}{{\sin CAB}} = \frac{{161}}{{\sin {{120}^ \circ }}}\\ \Rightarrow \,\,\sin CAB = \frac{{130.\sin {{120}^ \circ }}}{{161}} \approx 0,6993\\ \Rightarrow \,\,\widehat {CAB} \approx {44^ \circ }\end{array}$

Góc AC chếch về hướng tây một góc ${44^ \circ } - {24^ \circ } = {20^ \circ }.$

Vậy hướng từ A đến C là: $N{20^ \circ }W$