Bài 3.45 trang 162 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi

$A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2} + B{C^2}$ 

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Giả sử AB⊥CD ta phải chứng minh $A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2} + B{C^2}$.

Thật vậy, kẻ BE⊥CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD⊥(ABE) nên CD⊥AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:

$\eqalign{ & A{C^2} = A{{\rm{E}}^2} + C{E^2} \cr  & B{{\rm{D}}^2} = B{E^2} + E{{\rm{D}}^2} \cr  & B{C^2} = A{{\rm{E}}^2} + E{C^2} \cr  & {\rm{A}}{{\rm{D}}^2} = A{E^2} + E{{\rm{D}}^2} \cr}$ 

Từ đó ta suy ra $A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = A{D^2} + B{C^2}$

Ngược lại nếu tứ diện ABCD có $A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = A{{\rm{D}}^2} + B{C^2}$ thì: $A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{\rm{D}}^2}$.

Nếu $A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{\rm{D}}^2} = {k^2}$ thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho $I{H^2} = {{{k^2}} \over {2C{\rm{D}}}}$.

Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD⊥AB.

Nếu $A{C^2} - A{D^2} = B{C^2} - B{{\rm{D}}^2} =  - {k^2}$ thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên $A{D^2} - A{C^2} = B{{\rm{D}}^2} - B{C^2} =  - {k^2}$.

Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:

Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi $A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{C^2}$.

HocTot.Nam.Name.Vn