Bài 3.38 trang 132 SBT đại số và giải tích 11

LG a

${A_n} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$ $= \dfrac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = 1$.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra với $n = 1,$ ta có ${A_1} = \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{{1.\left( {1 + 3} \right)}}{{4.2.3}}$.

Giả sử ta có ${A_k} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k\left( {k + 3} \right)}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}$

Ta cần chứng minh ${A_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 4} \right)}}{{4\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$

Thật vậy,

${A_{k + 1}} = {A_k} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$ $= \dfrac{{k\left( {k + 3} \right)}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$

$= \dfrac{{k{{\left( {k + 3} \right)}^2} + 4}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$ $= \dfrac{{{k^3} + 6{k^2} + 9k + 4}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$ $= \dfrac{{\left( {k + 4} \right){{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$ $= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 4} \right)}}{{4\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Quảng cáo

LG b

${B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ $= \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = 1$.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra với $n = 1$ ta có ${B_1} = \dfrac{{1.\left( {1 + 1} \right)}}{2} = 1 = \dfrac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{6}$ nên $n = 1$ đúng.

Giả sử đã có ${B_k} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6}.$

Ta cần chứng minh ${B_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}$

Thật vậy,

${B_{k + 1}} = {B_k} + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}$ $= \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6} + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}$ $= \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6}$ $= \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

LG c

${S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx$ $= \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = 1$.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Lời giải chi tiết:

Kiểm tra với $n = 1$ ta có: ${S_1} = \sin x = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$ nên đúng.

Giả sử đã có ${S_k} = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.$

Ta cần chứng minh ${S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$

Thật vậy,

${S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x$ $= \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} + \sin \left( {k + 1} \right)x$ $= \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 3} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2}} \right)}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$

$= \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 3} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$ $= \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$

Vậy ${S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\left( {dpcm} \right).$

HocTot.Nam.Name.Vn