Bài 3.39 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

LG a

${3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)$ với $n \ge 4$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \ge p,p \in {N^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = p$.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge p} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$

Lời giải chi tiết:

Với $n = 4$ thì ${3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24.$

Giả sử đã có ${3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)$ với $k \ge 4.{\rm{      }}\left( 1 \right)$

Nhân hai vế của (1) với $3$, ta có

${3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right)$ ${\rm{ =  }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]$ $+ 2{k^2} + 2k - 3.$

Do $2{k^2} + 2k - 3 > 0$ nên ${3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right],$ chứng tỏ bất đẳng thức đúng với $n = k + 1.$

Quảng cáo

LG b

${2^{n - 3}} > 3n - 1$ với $n \ge 8.$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \ge p,p \in {N^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = p$.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge p} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Lời giải chi tiết:

Với $n = 8$ ta có: ${2^{8 - 3}} = {2^5} = 32 > 23 = 3.8 - 1$ nên đúng.

Giả sử ta có ${2^{k - 3}} > 3k - 1\,\,\left( 1 \right)$ với $k \ge 8$, ta cần chứng minh ${2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3.\left( {k + 1} \right) - 1$

Thật vậy, nhân cả hai vế của $\left( 1 \right)$ với $2$ ta có:

${2^{k - 2}} > 3k.2 - 2$$\Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3k + 3 + 3k - 5$  $\Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) + 3k - 5$

$\Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4$ $\Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1$

Hay ${2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1$ nên bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Từ đó suy ra đpcm.

HocTot.Nam.Name.Vn