Bài 3.40 trang 133 SBT đại số và giải tích 11

LG a

Viết năm số hạng đầu của dãy số

Phương pháp giải:

Thay các giá trị của $n$ từ $1$ đến $5$ để tìm $5$ số hạng đầu.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_2} = 2\\ {u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 1 = 2.2 - 1 + 1 = 4\\ {u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 1 = 2.4 - 2 + 1 = 7\\ {u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 1 = 2.7 - 4 + 1 = 11 \end{array}$

Năm số hạng đầu là $1,2,4,7,11.$

Quảng cáo

LG b

Lập dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.$ Chứng minh dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng

Phương pháp giải:

Từ công thức truy hồi của $\left( {{u_n}} \right)$ suy ra công thức truy hồi của $\left( {{v_n}} \right)$ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Từ công thức xác định dãy số ta có

${u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1$ hay ${u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1.{\rm{  }}\left( 1 \right)$

Vì ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}$ nên từ (1), ta có

${v_n} = {v_{n - 1}} + 1$ với $n \ge 2.\left( 2 \right)$

Vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${v_1} = {u_2} - {u_1} = 1,$ công sai $d = 1.$

hay ${v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d$ $= 1 + \left( {n - 1} \right).1 = n$

LG c

Tìm công thức tính ${u_n}$ theo $n$

Phương pháp giải:

Tính ${v_1},{v_2},...,{v_{n - 1}}$ rồi cộng các kết quả, rút gọn suy ra ${u_n}$.

Lời giải chi tiết:

Để tính ${u_n},$ ta viết

$\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = {u_3} - {u_2}\\{v_3} = {u_4} - {u_3}\\...\\{v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}\\{v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\end{array}$

Cộng từng vế $n - 1$ hệ thức trên và rút gọn, ta được

${v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}$$= 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n}-1}$

Suy ra ${u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}$ $=1+S_{n-1}$ $= 1 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.$

 HocTot.Nam.Name.Vn