Giải bài 3.22 trang 40 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 .$ Giá trị của $\tan \alpha  + \cot \alpha$ là:

A. 1.

B. $- 2$.

C. 0.

D. 2.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha .\cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 2\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha  = 2\\ \Leftrightarrow 2\sin \alpha .\cos \alpha  = 1\\ \Leftrightarrow \sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{1}{2}\end{array}$

Ta có: $\tan \alpha  + \cot \alpha$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\\ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2.\end{array}$

Chọn D