Giải bài 3.12 trang 66 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng:

a) AMPD là hình bình hành

b) AN song song CQ

c) MNPQ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Có ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow AB//CD;AB = CD.\)

M và P lần lượt là trung điểm của AB và DC nên \(AM = \frac{1}{2}AB;DP = \frac{1}{2}DC \Rightarrow AM = DP\left( 1 \right)\)

Vì \(AB//DC \Rightarrow AM//DP\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(AMPD\) là hình bình hành (dhnb).

b) Có ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow AD//BC;AD = BC\)

Q và N lần lượt là trung điểm của AD và BC nên \(AQ = \frac{1}{2}AD;CN = \frac{1}{2}BC \Rightarrow AQ = CN\left( 3 \right)\)

Vì \(AD//BC \Rightarrow AQ//CN\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra AQCN là hình bình hành (dhnb)\( \Rightarrow AN//CQ\) (tính chất hbh).

c) Xét tam giác ABD có QM là đường trung bình \( \Rightarrow QM//BD;QM = \frac{1}{2}BD\left( 5 \right)\)

Xét tam giác BCD có PN là đường trung bình \( \Rightarrow PN//BD;PN = \frac{1}{2}BD\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) suy ra \(QM//PN;QM = PN\) suy ra MNPQ là hình bình hành (dhnb).