Bài 3.10 trang 138 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp tam giác S.ABC có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt 2$. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {SC}$.

Lời giải chi tiết

Ta tính côsin của góc giữa hai vectơ $\displaystyle \overrightarrow {SC}$ và $\displaystyle \overrightarrow {AB}$. Ta có

$\displaystyle \eqalign{ & \cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} \cr  & = {{\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} } \over {{a^2}}} \cr & = {{\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} } \over {{a^2}}} \cr}$ 

Theo giả thiết ta suy ra hình chóp có các tam giác đều là $\displaystyle SAB, SAC$ và các tam giác vuông là $\displaystyle ABC$ vuông tại $\displaystyle A$ và $\displaystyle SBC$ vuông tại $\displaystyle S$.

Do đó $\displaystyle \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB}  = a.a.\cos 120^\circ  =  - {{{a^2}} \over 2}$ và $\displaystyle \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = 0$

Vậy $\displaystyle \cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {{ - {{{a^2}} \over 2} + 0} \over {{a^2}}} =  - {1 \over 2}$

Hay $\displaystyle \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {120^0}$

Vậy góc giữa hai vectơ $\displaystyle \overrightarrow {AB}$ và $\displaystyle \overrightarrow {SC}$ bằng 120°.

 HocTot.Nam.Name.Vn