Giải bài 3 trang 85 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có O, I lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng:

- Ba điểm A, O, I cùng thuộc một đường thẳng;

- Đường thẳng OA vuông góc với BC và đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) Cho BC = 24 cm, AC = 20 cm. Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là chân đường cao hạ từ A.

Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Suy ra AH là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Suy ra BH = HC. Vậy \(OH \bot BC\)(tính chất đường kính và dây cung).

Tương tự, ta có \(IH \bot BC\) mà \(AH \bot BC\)nên A, O, I, H thẳng hàng hay cùng thuộc một đường thẳng.

Ta có A, O, I, H thẳng hàng mà \(OH \bot BC\) nên \(OA \bot BC\). Ta có AD là đường kính của đường tròn (O; OD) nên D cùng nằm trên đường thẳng A, I, O, H suy ra AD là đường trung trực của tam giác ABC. Vậy OA đi qua điểm chính giữa D (khác điểm A) của cung BC.

b) Do BC = 24 cm, AC = 20 cm nên ta có AH = \(\sqrt {A{C^2} - H{C^2}} \) = 16 (cm).

Lại có \(\Delta \)ACH \(\backsim \)\(\Delta \)ADC nên AC² = AH.AD, suy ra 20² = 16.AD hay AD = 25 cm.

Do đó R = AD : 2 = 12,5 cm.

Do BI là phân giác của góc ABH nên \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\).

Ta có \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{3}{5}\) hay \(\frac{{IH}}{{IH + IA}} = \frac{3}{{3 + 5}} = \frac{3}{8}\), tức là \(\frac{r}{{16}} = \frac{3}{8}\). Vì vậy r = 6 cm.