Giải bài 3 trang 71 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC có $AB = 6,AC = 7,BC = 8$. Tính $\cos A,\sin A$ và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A$

$\Rightarrow \cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.7.6}} = \frac{1}{4}$

Lại có: ${\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A}$(do ${0^o} < A \le {90^o}$)

$\Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:$\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{8}{{2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.$

Vậy $\cos A = \frac{1}{4};$$\sin A = \frac{{\sqrt {15} }}{4};$$R = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.$