Giải bài 3 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O bán kính R = 9 và cho điểm A khác O. Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ  $\overrightarrow {OA}$ và phép vị tự ${V_{\left( {O; - \frac{1}{3}} \right)}}$. Tìm diện tích hình tròn (C’).

Lời giải chi tiết

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo $\overrightarrow {OA}$  và phép vị tự  ${V_{\left( {O; - \frac{1}{3}} \right)}}$ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).

Suy ra phép đồng dạng đó có tỉ số là $k = \left| { - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{3}$

Đường tròn (C’) có tâm O’, bán kính R’.

Suy ra O’ là ảnh của O qua phép đồng dạng tỉ số $\frac{1}{3}$

Gọi M là điểm bất kì nằm trên đường tròn (C).

Suy ra M’ là ảnh của M qua phép đồng dạng tỉ số $\frac{1}{3}$

Khi đó ta có $O'M' = \frac{1}{3}OM$

Vì vậy $R' = \frac{1}{3}R = \frac{1}{3}.9 = 3$

Diện tích hình tròn (C’) là: ${S_{(C')}} = \pi R{'^2} = \pi {3^2} = 9\pi$

Vậy diện tích hình tròn (C’) là $9\pi$.