Giải bài 2 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho ∆ABC đều có cạnh bằng 2. Qua ba phép biến hình liên tiếp: Phép tịnh tiến, phép quay ${Q_{\left( {B,{\rm{ }}60^\circ } \right)}},$ phép vị tự ${V_{\left( {A,{\rm{ }}3} \right)}},$∆ABC biến thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}.$ Tìm diện tích $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}.$

Lời giải chi tiết

Ta có $\Delta$ABC đều có cạnh bằng 2. Suy ra $AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC{\rm{ }} = {\rm{ }}2$ và $\widehat {BAC} = {60^o}$.

Vì phép tịnh tiến và phép quay đều là phép dời hình nên ảnh của $\Delta$ABC qua phép tịnh tiến  ${T_{\overrightarrow {BC} }}$ và phép quay ${Q_{\left( {B,{\rm{ }}60^\circ } \right)}}\;$ đều có các kích thước bằng các kích thước tương ứng của $\Delta$ABC.

Gọi f là phép biến hình có được bằng thực hiện hai phép biến hình liên tiếp là phép tịnh tiến  và phép quay ${Q_{\left( {B,{\rm{ }}60^\circ } \right)}}.$

Suy ra f là phép dời hình.

Do đó phép đồng dạng tỉ số 3 có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép dời hình f và phép vị tự ${V_{(A,{\rm{ }}3)}}$ biến $\Delta$ABC thành $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số 3 biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm ${A_1},{\rm{ }}{B_1},{\rm{ }}{C_1}.$

Khi đó ${A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}3AB{\rm{ }} = {\rm{ }}3.2{\rm{ }} = {\rm{ }}6$ và ${A_1}{C_1}\; = {\rm{ }}3AC{\rm{ }} = {\rm{ }}3.2{\rm{ }} = {\rm{ }}6.$

Vì $\Delta$ABC và $\Delta$A₁B₁C₁ đồng dạng với nhau nên $\widehat {{B_1}{A_1}{C_1}} = \widehat {BAC} = {60^o}$

Ta có ${S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}{A_1}{B_1}.{A_1}{C_1}.\sin \widehat {{B_1}{A_1}{C_1}} = \frac{1}{2}.6.6.\sin {60^o} = 9\sqrt 3$

Vậy diện tích $\Delta {A_1}{B_1}{C_1}$  bằng $9\sqrt 3$.