Giải bài 3 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

a) \(y = {x^2} + 2x + 1,y = 1 - 2{\rm{x}}\) và hai đường thẳng \(x =  - 1\) và \(x = 2\).

b) \(y = x - 4{x^3},y = 2x\) và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\).

Lời giải chi tiết

a) \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {1 - 2{\rm{x}}} \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + 4{\rm{x}}} \right|dx} \)

\({x^2} + 4{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x =  - 4\) (loại)

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + 4{\rm{x}}} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} + 4{\rm{x}}} \right|dx}  + \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 4{\rm{x}}} \right|dx}  = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} + 4{\rm{x}}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 4{\rm{x}}} \right)dx} } \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{{\rm{x}}^2}} \right)} \right|_{ - 1}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{{\rm{x}}^2}} \right)} \right|_0^2} \right| = \frac{5}{3} + \frac{{32}}{3} = \frac{{37}}{3}\end{array}\)

b) \(S = \int\limits_1^4 {\left| {\left( {x - 4{{\rm{x}}^3}} \right) - 2{\rm{x}}} \right|dx}  = \int\limits_1^4 {\left| { - 4{{\rm{x}}^3} - x} \right|dx} \)

\( - 4{{\rm{x}}^3} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (loại)

\(S = \int\limits_1^4 {\left| { - 4{{\rm{x}}^3} - x} \right|dx}  = \left| {\int\limits_1^4 {\left( { - 4{{\rm{x}}^3} - x} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( { - {x^4} - \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{2}} \right)} \right|_1^4} \right| = \frac{{525}}{2}\)