Giải bài 28 trang 70 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Quan sát Hình 28 biết $\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\widehat{BAC}=\widehat{BML}$.

a)      Chứng minh: $\Delta AMN\backsim \Delta MBL$.

b)     Xác định vị trí của điểm $M$ trên cạnh $AB$ để chu vi tam giác $AMN$ bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác $ABC$.

 

Lời giải chi tiết

a)      Vì $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ nên $MN//BC$. Do đó $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$ (1)

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{BML}$ nên $ML//AC$. Do đó $\Delta MBL\backsim \Delta ABC$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\Delta AMN\backsim \Delta MBL$,

b)     Giả sử $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $k$, ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=k$.

→    $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{AM+AN+MN}{AB+AC+BC}=k$ hay (Chu vi tam giác $AMN$) : (Chu vi tam giác $ABC$) $=k$.

Do đó để chu vi tam giác $AMN$ bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác $ABC$ thì $AM=\frac{2}{3}AB$.

Ngược lại, dễ thấy nếu $AM=\frac{2}{3}AB$ thì chu vi tam giác $AMN$ bằng $\frac{2}{3}$ tam giác $ABC$.

Vậy vị trí của điểm $M$ trên cạnh $AB$ để chu vi tam giác $AMN$ bằng chu vi tam giác $ABC$ là $AM=\frac{2}{3}AB$.