Giải bài 25 trang 41 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho biểu thức: \(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

a)     Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\)

b)    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\)

Lời giải chi tiết

a)     Điều kiện xác định của biểu thức \(S\) là: \(x \ne 0;x \ne  - 2\)

Rút gọn biểu thức ta có:

\(\begin{array}{l}S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{x + 2 - {x^2}}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{\left( {x + 2} \right).\left( { - {x^2} + x + 2} \right)}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{ - {x^3} + {x^2} + 2x - 2{x^2} + 2x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x}\\ = \frac{{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x}}{x} =  - {x^2} - 2x - 2\end{array}\)

Giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\) là: \( - 0,{1^2} - 2.0,1 - 2 =  - 2,21\)

b)    Ta có: \(S =  - {x^2} - 2x - 2 =  - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 1 =  - {\left( {x - 1} \right)^2} - 1\)

Suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \( - {\left( {x - 1} \right)^2} - 1\) đạt giá trị lớn nhất. Mà với mọi \(x\), ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) hay \( - {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \le  - 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) là -1 khi \(\left( {x - 1} \right) = 0\) hay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện xác định)