Giải bài 24 trang 67 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có đường phân giác \(AD\) và \(AB = 6\) cm, \(AC = 9\) cm. Đường trung trực của đoạn \(AD\) cắt cạnh \(AC\) tại \(E\). Tính độ dài của đoạn thẳng \(DE\).

Lời giải chi tiết

Đường trung trực của đoạn \(AD\) cắt \(AC\) tại \(E\) nên tam giác \(AED\) cân tại \(E\). Do đó \(\widehat {EDA} = \widehat {EAD}\). Mà \(\widehat {EAD} = \widehat {DAB}\) (\(AD\) là đường phân giác của tam giác \(ABC\)), suy ra: \(\widehat {EDA} = \widehat {DAB}\).

Lại có hai góc \(\widehat {EDA},\widehat {DAB}\) ở vị trí so le trong nên \(DE//AB\). Do đó: \(\frac{{ED}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\).

Mặt khác do \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) nên \(\frac{{DC}}{{DC + DB}} = \frac{3}{{3 + 2}} = \frac{3}{5}\). Suy ra \(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{3}{5}\).

Do đó \(\frac{{ED}}{{AB}} = \frac{3}{5}\). Vậy \(ED = \frac{3}{5}.6 = 3,6\) (cm).