Bài 24 trang 10 SBT toán 9 tập 2

LG a

$\left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr  \displaystyle{{1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ne 0;y \ne 0.$

Đặt $\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b$ $(a \ne 0;b \ne 0)$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {a + b = \displaystyle{4 \over 5}} \cr  {a - b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr  {a + b = \displaystyle{4 \over 5}} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr  {b + \displaystyle{1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right.\cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr  {2b = \displaystyle{3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr  {b =\displaystyle {3 \over {10}}} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = \displaystyle{1 \over 2}} \cr  {b = \displaystyle {3 \over {10}}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)}   \cr }$ 

Suy ra: 

$\left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr  \displaystyle{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 2} \cr  \displaystyle{y = {{10} \over 3}} \cr} }  \text {(thoả mãn)} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {x;y} \right) = \displaystyle\left( {2;{{10} \over 3}} \right)$

LG b

$\left\{ {\matrix{\displaystyle {{{15} \over x} - {7 \over y} = 9} \cr  \displaystyle{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ne 0;y \ne 0$

Đặt $\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b$ $(a \ne 0;b \ne 0)$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {15a - 7b = 9} \cr  {4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle {b = {{15a - 9} \over 7}} \cr  \displaystyle{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle {b = {{15a - 9} \over 7}} \cr  \displaystyle{4a + 9.{{15a - 9} \over 7} = 35} \cr} } \right.\cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle {b = {{15a - 9} \over 7}} \cr  {28a + 135a - 81 = 245} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle {b = {{15a - 9} \over 7}} \cr  {163a = 326} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle {b = {{15a - 9} \over 7}} \cr  {a = 2} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = 3} \cr  {a = 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr}$ 

Suy ra: 

$\left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over x} = 2} \cr  \displaystyle{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = \displaystyle{1 \over 2}} \cr  {y = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y)$ = $\displaystyle \left( {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right)$

LG c

$\left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over {x + y}} + {1 \over {x - y}} = {5 \over 8}} \cr  \displaystyle{{1 \over {x + y}} - {1 \over {x - y}} = - {3 \over 8}} \cr} } \right.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ne  \pm y$. Đặt $\displaystyle{1 \over {x + y}} = a;{1 \over {x - y}} = b$ $(a \ne 0;b \ne 0)$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {a + b = \displaystyle{5 \over 8}} \cr  {a - b =\displaystyle - {3 \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = b - \displaystyle{3 \over 8}} \cr  {a + b = \displaystyle{5 \over 8}} \cr} } \right.\cr  &\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = b - \displaystyle{3 \over 8}} \cr  {b - \displaystyle{3 \over 8} + b = {5 \over 8}} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = \displaystyle b - {3 \over 8}} \cr  {b = \displaystyle{1 \over 2}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = \displaystyle{1 \over 8}} \cr  {b =\displaystyle {1 \over 2}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr}$ 

Suy ra:

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over {x + y}} = {1 \over 8}} \cr  \displaystyle{{1 \over {x - y}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x + y = 8} \cr  {x - y = 2} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = y + 2} \cr  {y + 2 + y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = y + 2} \cr  {2y = 6} \cr } } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = y + 2} \cr  {y = 3} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 5} \cr  {y = 3} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) =  (5; 3).$

LG d

$\left\{ {\matrix{\displaystyle {{4 \over {2x - 3y}} + {5 \over {3x + y}} = - 2} \cr  \displaystyle{{3 \over {3x + y}} - {5 \over {2x - 3y}} = 21} \cr} } \right.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x \ne \displaystyle{3 \over 2}y;x \ne  - {1 \over 3}y.$ Đặt $\displaystyle{1 \over {2x - 3y}} = a;{1 \over {3x + y}} = b$ 

$(a \ne 0;b \ne 0)$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {4a + 5b = - 2} \cr  {3b - 5a = 21} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = \displaystyle{{5a + 21} \over 3}} \cr  {4a + 5b = - 2} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = \displaystyle{{5a + 21} \over 3}} \cr  {4a + \displaystyle5.{{5a + 21} \over 3} = - 2} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b =\displaystyle {{5a + 21} \over 3}} \cr  {12a + 25a + 105 = - 6} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b =\displaystyle {{5a + 21} \over 3}} \cr  {37a = - 111} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b =\displaystyle {{5a + 21} \over 3}} \cr  {a = - 3} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = 2} \cr  {a = - 3} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr}$

Suy ra:

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over {2x - 3y}} = - 3} \cr  \displaystyle{{1 \over {3x + y}} = 2} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {2x - 3y = \displaystyle- {1 \over 3}} \cr  {3x + y =\displaystyle {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle{1 \over 2} - 3x} \cr  {2x - \displaystyle 3\left( {{1 \over 2} - 3x} \right) = {-1 \over 3}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle{1 \over 2} - 3x} \cr  {2x + 9x = \displaystyle - {1 \over 3} + {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y =\displaystyle {1 \over 2} - 3x} \cr  {11x = \displaystyle{7 \over 6}} \cr } } \right. \cr&  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle{1 \over 2} - 3x} \cr  {x =\displaystyle {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y = \displaystyle{1 \over 2} - {7 \over {22}}} \cr  {x = \displaystyle{7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {y =\displaystyle {2 \over {11}}} \cr  {x =\displaystyle {7 \over {66}}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là$(x; y) = \displaystyle \left( {{7 \over {66}};{2 \over {11}}} \right)$

LG e

$\left\{ {\matrix{\displaystyle {{7 \over {x - y + 2}} - {5 \over {x + y - 1}} = 4,5} \cr  \displaystyle{{3 \over {x - y + 2}} + {2 \over {x + y - 1}} = 4} \cr} } \right.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện:$x - y + 2 \ne 0;x + y - 1 \ne 0.$

Đặt $\displaystyle{1 \over {x - y + 2}} = a;{1 \over {x + y - 1}} = b.$ 

$(a \ne 0;b \ne 0)$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 

$\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {7a - 5b = 4,5} \cr  {3a + 2b = 4} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = \displaystyle{{4 - 3a} \over 2}} \cr  {7a - 5b = 4,5} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = \displaystyle{{4 - 3a} \over 2}} \cr  {7a - \displaystyle 5.{{4 - 3a} \over 2} = 4,5} \cr} } \right.\cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b =\displaystyle {{4 - 3a} \over 2}} \cr  {14a - 20 + 15a = 9} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b =\displaystyle {{4 - 3a} \over 2}} \cr  {29a = 29} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b =\displaystyle {{4 - 3a} \over 2}} \cr  {a = 1} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b =\displaystyle {1 \over 2}} \cr  {a = 1} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)} \cr  & \Rightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over {x - y + 2}} = 1} \cr  \displaystyle{{1 \over {x + y - 1}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x - y + 2 = 1} \cr  {x + y - 1 = 2} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = y - 1} \cr  {y - 1 + y - 1 = 2} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = y - 1} \cr  {2y = 4} \cr} } \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = y - 1} \cr  {y = 2} \cr} } \right. \cr&  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 1} \cr  {y = 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(x; y) =  (1; 2).$

HocTot.Nam.Name.Vn