Bài 2.13 trang 68 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$ và $S$ lần lượt trung điểm của $AB, CD, BC, AD, AC$ và $BD$. Chứng minh rằng tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng $MN, PQ$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Lời giải chi tiết

Trong tam giác $ABC$ ta có: $MP\parallel AC$ và $MP = \dfrac{AC}{2}$.

Trong tam giác $ACD$ ta có: $QN \parallel AC$ và $QN = \dfrac{AC}{2}$.

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{array}{l}MP\parallel QN\\ MP = QN\end{array} \right.$

⇒ Tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành.

Do vậy hai đường chéo $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

Tương tự: $PR \parallel QS$ và $PR = QS = \dfrac{AB}{2}$.

Do đó tứ giác $PRQS$ là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo $PQ$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của $PQ$ và $OR = OS$

Vậy ba đoạn thẳng $MN, PQ$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

HocTot.Nam.Name.Vn