Giải bài 20 trang 95 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ có $\widehat A > 90^\circ$, $AB > BC$. Trên đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $C$ lấy hai điểm $E,F$ sao cho $CE,CF,BC$. Trên đường thẳng vuông góc với $CD$tại $C$ lấy hai điểm $P,Q$ sao cho $CP = CQ = CD$ (Hình 16). Chứng minh:

a)     Tứ giác $EPFFG$ là hình bình hành;

b)    $AC \bot EP$.

Lời giải chi tiết

a)     Tứ giác $EPFQ$ có hai đường chéo$EF$ và PQ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $EFPQ$ là hình binh hành.

b)    Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $EP$, $K$ là giao điểm của $AB$ và $PQ$.

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD,AD = BC$, $\widehat B = \widehat D$.

Vì $AB//CD$ nên $\widehat {BKC} = \widehat {DCK} = 90^\circ$(hai góc so le trong). Suy ra tam giác $BCK$vuông tại $K$. Do đó,

$\widehat B = \widehat {BCK} = 90^\circ$

Mặt khác, ta có $\widehat {ECP} + \widehat {BCK} = \widehat {BCE} = 90^\circ$ nên $\widehat D = \widehat {ECP}$.

Xét hai tam giác $ACD$ và $EPC$, ta có:

$AD = EC$ (vì cùng bằng $BC$); $\widehat D = \widehat {ECP};CD = PC$

Suy ra $\Delta ACD = \Delta EPC$ (c.g.c). Do đó $\widehat {ACD} = \widehat {EPC}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat {ACD} = \widehat {HPC}$. Mà $\widehat {ACD} + \widehat {PCH} = \widehat {DCP} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 90^\circ$

Xét tam giác $CPH$, ta có: $\widehat {CHP} + \widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {CHP} + 90^\circ  = 180^\circ$ hay $\widehat {CHP} = 90^\circ$. Vậy $AC \bot EP$.