Bài 20 trang 87 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(AB = 12cm, AC = 20cm,\) \(BC = 28cm.\) Đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D.\) Qua \(D\) kẻ \(DE // AB\) (\(E\) thuộc \(AC\)) (h17).

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(BD, DC\) và \(DE\).

b) Cho biết diện tích tam giác \(ABC\) là \(S\), tính diện tích các tam giác \(ABD, ADE\) và \(DCE.\)

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác \(ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) ta có: 

\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

Suy ra:

\(  \displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle{{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{28.12} \over {12 + 20}} \)\(\, = 10,5\; (cm)\)

\(\Rightarrow DC = BC - DB = 28 - 10,5 \)\(\,= 17,5\; (cm)\)

Trong tam giác \(ABC\) có \(DE // AB\) nên theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle {{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\)

\(\Rightarrow \displaystyle DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{17,5.12} \over {28}} = 7,5\)\(\;  (cm)\)

b) Vì \(∆ABD\) và \(∆ABC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) do đó,

\(\displaystyle \frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{{10,5}}{{28}} = \frac{{21}}{{56}} = \frac{3}{8}\)

Vậy \(\displaystyle {S_{ABD}} = {3 \over 8}S\)

\({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} \)\(\,\displaystyle = S - {3 \over 8}S = {8 \over 8}S - {3 \over 8}S = {5 \over 8}S\)

Vì \(DE // AB\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {EDA}\) (cặp góc so le trong)   (1)

\(AD\) là đường phân giác góc \(A\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {EAD} = \widehat {EDA}\)

Do đó \(\Delta AED\) cân tại \(E\)

\( \Rightarrow AE = DE\) (tính chất tam giác cân).

 Vì \(∆ADE\) và \(∆ADC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(D\) do đó,

\(\displaystyle {{{S_{ADE}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {AC}} = {{7,5} \over {20}}\)

Vậy \(\displaystyle {S_{ADE}} = {{7,5} \over {20}}.{S_{ADC}} = {{7,5} \over {20}}.{5 \over 8}S \)\(\,\displaystyle= {{7,5} \over {32}}S\)

Ta có \(\displaystyle {S_{DCE}} = {S_{ADC}} - {S_{ADE}} \)\(\,\displaystyle = {5 \over 8}S - {{7,5} \over {32}}S = {{12,5} \over {32}}S\).

HocTot.Nam.Name.Vn