Giải bài 2 trang 115 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh:

$A{C^2} + B{{\rm{D}}^2} = 4\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right) = 4{\rm{A}}{B^2}$

Lời giải chi tiết

Xét $\Delta OAB$ vuông tại A có: $O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}$

Vì ABCD là hình thoi nên OA = OC; OB = OD

Ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} + B{D^2} = {(OA + OC)^2} + {(OB + OD)^2}\\ = {(OA + OA)^2} + {(OB + OB)^2}\\ = {(2OA)^2} + {(2OB)^2} = 4.O{A^2} + 4.O{B^2} = 4{(OA^2 + OB^2)} = 4.A{B^2}\end{array}$