Bài 17 trang 7 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng: 

$a)$ $\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$$+ \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = 2{a^3}$

$b)$ ${a^3} + {b^3}=\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right]$;

$c)$ $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$$= {\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}$

Lời giải chi tiết

$a)$ Biến đổi vế trái: 

$\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$$+ \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)$$= a{}^3 + {b^3} + {a^3} - {b^3} = 2{a^3}$

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

$b)$ Biến đổi vế phải:

$\left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right]$$= \left( {a + b} \right)\left[ {{a^2} - 2ab + {b^2} + ab} \right]$$= \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = {a^3} + {b^3}$

Vế phải bằng vế trái, vậy đẳng thức được chứng minh.

$c)$ Biến đổi vế phải:

${\left( {ac + bd} \right)^2} + {\left( {ad - bc} \right)^2}$$= {a^2}{c^2} + 2abcd + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2}$$- 2abcd + {b^2}{c^2}$$= {a^2}{c^2} + {b^2}{d^2} + {a^2}{d^2} + {b^2}{c^2}$$= {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2}  + {a^2}{d^2} + {b^2}{d^2}$$= c^2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {d^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$$= \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$

Vế phải bằng vế trái, đẳng thức được chứng minh.

Cách khác: 

Biến đổi vế trái:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

$= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

$= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 ) + (a^2d^2 – 2abcd + b^2c^2)$

$= [(ac)^2 + 2abcd + (bd)^2 ] + [(ad)^2 – 2abcd + (bc)^2]$

$= (ac + bd)^2 + (ad – bc)^2$ 

Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

HocTot.Nam.Name.Vn