Giải bài 15 trang 51 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB = 6cm,AC = 8cm$. Tia phân giác của $\widehat {ABC}$ cắt AC tại D.

a) Tính độ dài DA, DC.

b) Tia phân giác của $\widehat {ACB}$ cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $\widehat {BIM} = {90^0}$.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A có: $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 10\left( {cm} \right)$

Vì BD là tia phân giác của góc ABC trong tam giác ABC nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$

Do đó, $\frac{{DA}}{3} = \frac{{DC}}{5} = \frac{{AC}}{8} = 1$. Suy ra: $DA = 3cm,DC = 5cm$

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có: $BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = 3\sqrt 5 \left( {cm} \right)$

Vì CI là đường phân giác của góc DCB trong tam giác BCD nên theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: $\frac{{ID}}{{IB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$, suy ra $\frac{{ID}}{1} = \frac{{IB}}{2} = \frac{{BD}}{3} = \sqrt 5$

Suy ra: $ID = \sqrt 5 cm,IB = 2\sqrt 5 cm$

Chứng minh $\Delta IDC = \Delta IMC\left( {c - g - c} \right)$ nên $IM = ID = \sqrt 5 cm$

Vì $I{M^2} + I{B^2} = 25 = M{B^2}$ nên tam giác IMB vuông tại I (định lí Pythagore đảo). Do đó, $\widehat {BIM} = {90^0}$