Bài 111 trang 94 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi $E,\, F,\, G,\, H$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AB,\, BC,\, CD,\, DA .$ Tứ giác $EFGH$ là hình gì ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết

Trong $∆ ABC$ ta có:

$E$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$F$ là trung điểm của $BC$ (gt)

nên $EF$ là đường trung bình của $∆ ABC$

$⇒ EF // AC$ và $EF  = \dfrac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong $∆ DAC$ ta có:

$H$ là trung điểm của $AD$ (gt)

$G$ là trung điểm của $DC$ (gt)

nên $HG$ là đường trung bình của $∆ DAC.$

$⇒ HG // AC$ và $HG  = \dfrac{1}{2} AC$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EF // HG$ và $EF = HG$

Suy ra: Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: $BD ⊥ AC$ (gt)

                  $EF // AC$ ( chứng minh trên)

Suy ra: $EF ⊥ BD$

Trong $∆ ABD$ ta có $EH$ là đường trung bình (vì E là trung điểm của AB và H là trung điểm của AD)

$⇒ EH // BD$

Suy ra: $EF ⊥ EH$ hay $\widehat {FEH} = {90^0}$

Vậy hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông).