Giải bài 11 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

a) $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$

b)  $\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$

c) ${x^2} - 16{y^2} = 16$

d) $9{x^2} - 16{y^2} = 144$

Lời giải chi tiết

a) Phương trình $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ đã có dạng phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ nên ta có: $a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5$

Suy ra ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: ${F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;3),B(4;0),C(0; - 3),D( - 4;0)$

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 6

b) Phương trình $\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$ đã có dạng phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ nên ta có: $a = 8,b = 6 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10$

Suy ra ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: ${F_1}\left( { - 10;0} \right),{F_2}\left( {10;0} \right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;6),B(8;0),C(0; - 6),D( - 8;0)$

Độ dài trục thực 16

Độ dài trục ảo 12

c) ${x^2} - 16{y^2} = 16 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1$

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1$

Suy ra $a = 4,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{4^2} + {1^2}}  = \sqrt {17}$

Từ đó ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: ${F_1}\left( { - \sqrt {17} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {17} ;0} \right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;1),B(4;0),C(0; - 1),D( - 4;0)$

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 2

d) $9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\frac{{144}}{9}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{144}}{{16}}}} = 1$

Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$

Suy ra $a = 4,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5$

Từ đó ta có:

Tọa độ các tiêu điểm: ${F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)$

Tọa độ các đỉnh: $A(0;3),B(4;0),C(0; - 3),D( - 4;0)$

Độ dài trục thực 8

Độ dài trục ảo 6