Bài 101 trang 22 SBT toán 9 tập 1

LG câu a

Chứng minh: 

$x - 4\sqrt {x - 4}  = {\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)^2};$

Phương pháp giải:

Phân tích biểu thức thành hằng đẳng thức:

${a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}$

Áp dụng $A=\sqrt {{A^2}}$ với $A\ge 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

$VT=x - 4\sqrt {x - 4}$

$= \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4}  + 4$

$= {\left( {\sqrt {x - 4} } \right)^2} - 2.2\sqrt {x - 4}  + {2^2}$

$= {\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)^2}=VP$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

(Chú ý: VT: Vế trái, VP: Vế phải) 

LG câu b

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:

$A=\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .$ 

Phương pháp giải:

Phân tích biểu thức thành hằng đẳng thức:

${a^2} \pm 2ab + {b^2} = {(a \pm b)^2}$

Áp dụng $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$

Với $A \ge 0$ suy ra $\left| A \right| = A$ 

Với $A < 0$ suy ra $\left| A \right| =- A$ 

Lời giải chi tiết:

$A$ xác định khi: $x - 4 \ge 0$ và $x - 4\sqrt {x - 4}  \ge 0$

Ta có $x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4$, khi đó:

$\eqalign{ & x - 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr  & = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2} \ge 0\text{( luôn đúng )} \cr}$

Vậy với $x \ge 4$ thì $A$ xác định. 

Ta có: 

$\eqalign{ & x + 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) +2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr  & = {\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)^2}  \cr}$

Suy ra:

$A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }$$+ \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} }$

$= \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  + 2} \right)}^2}}$$+ \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)}^2}}$

$= \left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right|$$+ \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|$

$= \sqrt {x - 4}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|$

+) Nếu 

$\eqalign{ & \sqrt {x - 4} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} \ge 2 \cr  & \Leftrightarrow x - 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr}$

thì: $\left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right| = \sqrt {x - 4}  - 2$

Ta có: $A = \sqrt {x - 4}  + 2 + \sqrt {x - 4}  - 2$$= 2\sqrt {x - 4}$ 

+) Nếu:

$\eqalign{ & \sqrt {x - 4} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} < 2 \cr  & \Leftrightarrow x - 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr}$

Suy ra $4\le x<8$

Do đó, $\left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|$$= 2 - \sqrt {x - 4}$

Ta có: $A = \sqrt {x - 4}  + 2 + 2 - \sqrt {x - 4}  = 4$

Vậy với $x\ge 8$ thì $A = 2\sqrt {x - 4}$ 

Với $4\le x<8$ thì $A=4.$

HocTot.Nam.Name.Vn